دترمینان

به هر ماتریس مربع از مرتبه مانند می‌توان عددی را نسبت داد.این عدد را با نماد یا نمایش می‌دهیم و آن را دترمینان می‌خوانیم.
اگر :

آنگاه:

اگر ستون‌های ماتریس را با نشان دهیم آنگاه و خواهیم داشت :

اگر یک ماتریس مربع از مرتبه باشد آنگاه ماتریس حاصل از حذف سطر ام و ستون ام که یک ماتریس از مرتبه در است را با نماد نمایش می‌دهیم.در اینصورت:

اگر دو ماتریس باشند آنگاه:

1. 
2. 
3. اگر وارون پذیر باشد آنگاه

اگریک ستون از ماتریس مربع از مرتبه مضربی از ستون دیگر آن باشد آنگاه
اثبات:

بنابراین:

لذا:

---

اثبات:
به استقرا روی عمل می‌کنیم:

فرض استقرا:

حکم استقرا:

اما:

 

• Chapter P  Prerequisites

P.1 Real Numbers

P.2 Solving Equations

P.3 The Cartesian Plane and Graphs of Equations

P.4 Linear Equations in Two Variables

P.5 Functions

P.6 Analyzing Graphs of Functions

P.7 Shifting, Reflecting, and Stretching Graphs

P.8 Combinations of Functions

P.9 Inverse Functions

• Chapter 1 Trigonometry

1.1 Radian and Degree Measure

1.2 Trigonometric Functions: The Unit Circle

1.3 Right Triangle Trigonometry

1.4 Trigonometric Functions of Any Angle

1.5 Graphs of Sine and Cosine Functions

1.6 Graphs of Other Trigonometric Functions

1.7 Inverse Trigonometric Functions

1.8 Applications and Models

• Chapter 2 Analytic Trigonometry

2.1 Using Fundamental Identities

2.2 Verifying Trigonometric Identities

2.3 Solving Trigonometric Equations

2.4 Sum and Difference Formulas

2.5 Multiple-Angle and Product-to-Sum Formulas

• Chapter 3 Additional Topics in Trigonometry

3.1 Law of Sines

3.2 Law of Cosines

3.3 Vectors in the Plane

3.4 Vectors and Dot Products

• Chapter 4 Complex Numbers

4.1 Complex Numbers

4.2 Complex Solutions of Equations

4.3 Trigonometric Form of a Complex Number

4.4 DeMoivre's Theorem

• Chapter 5 Exponential and Logarithmic Functions

5.1 Exponential Functions and Their Graphs

5.2 Logarithmic Functions and Their Graphs

5.3 Properties of Logarithms

5.4 Exponential and Logarithmic Equations

5.5 Exponential and Logarithmic Models

• Chapter 6 Topics in Analytic Geometry

6.1 Lines

6.2 Introduction to Conics: Parabolas

6.3 Ellipses

6.4 Hyberbolas

6.5 Rotation of Conics

6.6 Parametric Equations

6.7 Polar Coordinates

6.8 Graphs of Polar Equations

6.9 Polar Equations of Conics

فرمول های ریاضی

یک ضلع × خودش = مساحت مربع

یک ضلع × 4 = محیط مربع

طول × عرض = مساحت مستطیل

2× (طول + عرض) = محیط مستطیل

2 ÷ (قاعده × ارتفاع) = مساحت مثلث

مجموع سه ضلع = محیط مثلث

نصف ارتفاع × (قاعده بزرگ + قاعده کوچک) = مساحت ذوزنقه

مجموع 4 ضلع = محیط ذوزنقه

2÷ (قطر بزرگ × قطر کوچک) = مساحت لوزی

یک ضلع × 4 = محیط لوزی

ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی الاضلاع

مجموع دو ضلع متوالی × 2 = محیط متوازی الاضلاع

عدد پی × مجذور شعاع = مساحت دایره

14/3 × شعاع × شعاع

14/3 × قطر = محیط دایره

  مساحت کره

چهار ×عدد پی × مجذور شعاع = مساحت کره

حجم کره

  عدد پی × شعاع به توان 3 = حجم کره

14/3 × (نصف قطر کوچک × نصف قطر بزرگ) = مساحت بیضی

یک ضلع × تعداد اضلاع = محیط چند ضلعی منتظم

طول یال × مساحت یک وجه = حجم مکعب

ارتفاع × عرض × طول = حجم مکعب مستطیل

ارتفاع × قاعده = حجم مکعب

ارتفاع هرم × مساحت قاعده هرم = حجم هرم

ارتفاع × مساحت قاعده = حجم استوانه

ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی

سطح دو قاعده + مساحت جانبی = سطح کل استوانه

مجموع مساحت سطوح جانبی  = مساحت جانبی منشور

مجموع مساحت دو قاعده + مجموع مساحت سطوح جانبی = مساحت کلی منشور

ارتفاع  × مساحت قاعده = حجم مخروط

تعاریف هندسی                 

شعاع : خطی از مرکز دایره به پیرامون دایره را شعاع می گویند.

(شعاع خطی مستقیم است که مرکز دایره را به نقطه ای از محیط دایره وصل می کند)

شعاع نصف قطر است.

قطر : فاصله مستقیم دو طرف دایره را که از وسط دایره بگذرد را قطر می نامند.

عدد پی : 14/3 = π یکی از معروف ترین ثابت های ریاضی عدد π می باشد.

عدد پی نسبت محیط دایره به قطرش است و تقریبا برابر 14/3 می باشد.

و دقیقتر آن 14159/3

و دقیقتر آن تا 22 رقم اعشاری برابر است با :

                                                                                                      1415926535897932384626/3 = π

عدد پی (π) عددی گنگ است که رقم هایش تا بی نهایت ادامه دارد.

*برای بدست آوردن مساحت و محیط دایره، کره و بیضی از عدد ثابت پی استفاده می شود.

زاویه حاده (زاویه تند) : زاویه کوچکتر از 90⁰  را حاده یا تند گویند.

زاویه قائمه : برابر 90⁰ می باشد.

زاویه منفرجه (زاویه باز) : زاویه بیشتر از 90⁰ را زاویه باز یا منفرجه نامند.

زاویه نیم صفحه : زاویه 180⁰ را زاویه نیم صفحه گویند. همانند نیم دایره

درجه = واحد اندازه گیری زاویه، درجه است.

حداکثر زاویه (تمام صفحه) 360 درجه است. همانند دایره

نیم ساز : نیم خطی که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند را نیمساز زاویه گویند.

دو خط عمود بر هم : دو خط که زاویه بین آنها راست یا 90⁰ باشد دو خط عمود بر هم هستند.

عمود منصف : عمود منصف خطی است که هم عمود بر پاره خط بوده و هم آن را نصف کرده باشد.

خط تقارن = اگر شکلی را از وسط تا کنیم طوری که تمامی زوایای آن شکل بر هم منطبق شوند، محل تا شدگی را خط تقارن نامند.

بخش پذیری اعداد

حاصل تقسیم صفر بر هر عددی برابر صفر است.

حاصل تقسیم هر عددی بر صفر تعریف نشده است. یا می توان گفت بی نهایت است.

اعدادی بر 2 قابل تقسیم هستند که یکان آنها زوج باشد.

اعدادی بر 3 قابل تقسیم هستند که مجموعشان بر 3 قابل تقسیم باشد.

اعدادی بر 4 قابل تقسیم هستند که دو رقم آخر آنها بر 4 قابل تقسیم باشد.

هر عددی که مضربی از 100 باشد نیز بر 4 قابل تقسیم است. (چون 100 خودش بر 4 قابل تقسیم است.)

اعدادی بر 5 قابل تقسیم هستند که رقم یکان آنها 0 یا 5 باشد.

اعدادی بر 6 قابل تقسیم هستند که بر 2 و 3 قابل تقسیم باشند.

عددی بر 8 قابل تقسیم است که یا مضربی از 1000 باشد و یا 3 رقم آخر آن بر 8 قابل تقسیم باشد.

اعدادی بر 9 قابل تقسیم هستند که مجموعشان بر 9 قابل تقسیم باشد.

عددی بر 10 قابل تقسیم است که رقم آخر آن صفر باشد.

عددی بر 11 قابل تقسیم است که اگر ارقام آن عدد را به ترتیب از چپ به راست یکی در میان منها و جمع کنیم، حاصل صفر یا مضربی از 11 باشد.

اعدادی بر 12 قابل تقسیم هستند که بر 3 و 4 قابل تقسیم باشند.

اعدادی بر 14 قابل تقسیم هستند که بر 7 و 2 قابل تقسیم باشند.

اعدادی بر 15 قابل تقسیم هستند که بر 3 و 5 قابل تقسیم باشند.

هر تقسیم از چهار قسمت تشکیل شده است :

مقسوم، مقسوم علیه، خارج قسمت، باقیمانده.

باقیمانده + مقسوم علیه × خارج قسمت = مقسوم

اعداد

اعداد طبیعی :

اعداد صحیح بزرگتر از صفر را اعداد طبیعی گویند.

N = {1, 2, 3, 4, 5,…..}

اعداد صحیح :

مجموعه اعداد مثبت و منفی صحیح را اعداد صحیح نامند.

Z = {…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,…}

اعداد اعشاری :  5/71  و 14/3

اعداد اول

اعداد اول : هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 که غیر از خودش و 1 مقسوم علیه دیگری نداشته باشد، عدد اول نامیده می شود.

P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,……}

اعداد مثبت : کلیه اعداد بزرگتر از صفر اعداد مثبت هستند.   5 و 1

اعداد منفی : کلیه اعداد کوچکتر از صفر اعداد منفی هستند.   -6 , -3

اعداد کسری :  ،  ،  ،

هر عدد به صورت  که در آن a , b اعداد صحیح می باشند و b ≠0 باشد یک کسر نامیده می شود.

اعداد گویا : هر عددی که بتوان به صورت کسر نوشت یک عدد گویا است.

اعداد گویا را با Q نمایش می دهند.

هر عدد صحیح یک عدد گویاست.

عدد گنگ : عددی که قابل تبدیل به نسبت دو عدد درست نباشد، عدد گنگ (اصم) است.

اعداد گنگ را با (Q^`) نمایش می دهند.

مجموعه اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و با (R) نمایش می دهند.

متر

متر = صد سانتیمتر یک متر است.

کیلومتر = 1000 متر یک کیلومتر است.

سانتی متر = 10 میلیمتر یک سانتی متر است.

میلیمتر = یک میلیمتر برابر 1000 میکرون است.

دسی متر = 10 سانتیمتر یک دسی متر است.

دکامتر = 10 متر

هکتو متر = 100 متر

ذرع = 104 سانتیمتر

متر مربع برابر است با مربعی که هر ضلع آن 1 متر باشد.

1 اینچ = 54/2 سانتیمتر

1 فوت = 5/30 سانتی متر

1 یارد = 44/91 سانتی متر

1 مایل = 609/1 کیلومتر

هکتار = 10.000 متر مربع

جریب = 4050 متر  مربع

1 کیلومتر مربع = 100 هکتار

لیتر

واحد اندازه گیری مایعات لیتر است.

لیتر = یک لیتر برابر است با گنجایش مکعبی تو خالی که هر بعد آن 10 سانتیمتر باشد.

یک لیتر آب تقریبا برابر یک کیلوگرم می باشد.

سانتی متر مکعب = حجم مکعبی که هر یک از ابعاد آن 1 سانتی متر باشد، یک سانتی متر مکعب است.

متر مکعب = یک متر مکعب گنجایش مکعبی تو خالی به ابعاد یک متر است.

1000 لیتر برابر یک متر مکعب است.

سی سی = یک سانتیمتر مکعب  برابر یک سی سی است .

یک لیتر = برابر 1000 سی سی است.

اوزان و مقیاس ها

گرم = هزار گرم برابر است با 1 کیلوگرم

کیلوگرم = 1000 گرم

تن = 1000 کیلوگرم

من = 3 کیلوگرم

خروار = 100 من

سیر = 75 گرم

چارک = 750 گرم

قیراط = 9/205 گرم

1 اونس = 35/28 گرم

1 پوند = 592/453 گرم

1 ری = 12 کیلو گرم

1 مثقال = 6875/4 گرم

1 نخود : 1953/0 گرم

1 گندم = 0488/0 گرم

واحدهای شمارش :

انسانها از گذشته تا کنون برای شمارش اشیاء از اصطلاحات زیر استفاده می کنند :

انسان (شتر و درخت خرما) = نفر

کشتی و هواپیما = فروند

پرندگان = عدد

خانه ، مغازه = باب

کتاب = جلد

کاغذ = برگ

دسته های کاغذ و مقوا = بند

پارچه و کالاهای تجاری = عدل

منشور: (Prism)

منشور در لغت به معنی پراکنده, نشر شده, زنده شده و مبعوث است و در اصطلاح هندسه نام شکلی است که دو قاعده دارد که دو چند ضلعی مساوی هستند و بدنه منشور(سطح جانبی منشور ) از مستطیلها یا متوازی الاضلاع ها تشکیل شده است.

معرفی منشور 5 پهلو:

í نام شکل: منشور 5 پهلو

í یال های منشور: 'EE',DD',CC',BB',AA

í وجه منشور: هر کدام از مستطیل های جانبی را یک وجه منشور می نامند.

í ارتفاع منشور: از آنجا که هر کدام از یال ها بر دو قاعده منشور عمود می باشند, لذا ارتفاع منشور با اندازه هر یک از یال ها برابر است.

í قاعده ی منشور: منشور دو قاعده دارد. ABCDE و 'A'B'C'D'E که دو پنج ضلعی مساوی اند.

رابطه های مهم:

ارتفاع × مساحت قاعده = حجم منشور

ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی منشور

مساحت دو قاعده + مساحت جانبی = مساحت کل منشور

استوانه: (Cylinder)

نام شکلی است که دو قاعده دارد که دو دایره مساوی هستند و بر جانبی راست استوار است.

اگر مستطیل را حول طول آن دوران دهیم, شکل فضایی حاصل استوانه نامیده می شود. در این صورت طول مستطیل ارتفاع استوانه و عرض آن شعاع قاعده استوانه می باشد.

 در شکل بالا مستطیل ABCD را حول طول آن دوران داده ایم و استوانه بوجود آمده است.

رابطه های مهم:

ارتفاع×مساحت قاعده(دایره) = حجم استوانه

ارتفاع×محیط قاعده(دایره) = مساحت جانبی استوانه

مساحت دو قاعده + مساحت جانبی = مساحت کل استوانه

هرم: (pyramid)

 هرم در لغت به معنی سخت پیر گردیدن و کلان سال شدن است و در اصطلاح هندسه حجمی است که قاعده آن یک چند ضلعی و وجوه جانبی اش مثلثهایی باشند که همه به یک رأس مشترک(رأس هرم) منتهی می شوند.

 معرفی هرم منتظم:

í نام شکل: هرم منتظم.

í رأس هرم: نقطه S

í ارتفاع هرم: پاره خطی است که از رأس هرم به مرکز قاعده ی هرم عمود است(SO)

í قاعده هرم: پنج ضلعی منتظم ABCDE

í سهم هرم: ارتفاع مثلث های جانبی, ارتفاع هر وجه جانبی هرم منتظم(SH).

í وجه هرم: هر یک از مثلث هایی که بدنه هرم را می پوشانند را یک وجه جانبی     می نامیم.

í یال هرم: محل تقاطع هر دو وجه جانبی را یال هرم می نامیم. SE,SD,SC,SB,SA

رابطه های مهم:

مخروط : (cone)

 مخروط به معنی خراشیده شده ، تراشیده شده و خراطی شده است ودر اصطلاح هندسه حجمی است که از دوران مثلث قائم الزاویه حول یک ضلع آن به دست می آید . کله قند و کلاه بوقی نمونه هایی به شکل مخروط هستند.

معرفی مخروط :                                         

í نام شکل : مخروط

í رأس :نقطه ی s

í ارتفاع :پاره خط SO ضلعی که مثلث قائم الزاویه را حول آن دوران داده ایم تا مخروط بوجود آید.

پاره خطی است که از رأس مخروط بر صفحه ی قاعده ی آن عمود است .

í قاعده ی مخروط : دایره c به مرکز O و شعاع oB را قاعده ی مخروط می نامیم.

í مولد مخروط :پاره خط SA یا SB ، وتر مثلث قائم الزاویه که مخروط را بوجود آورده است.

رابطه های مهم :

کره : (sphere)

کره به معنی گوی و آن چه که به شکل گوی باشد، است و در اصطلاح هندسه شکلی است که از دوران نیم دایره حول قطرش بوجود می آید . مانند توپ ، گوی چوگان

معرفی کره:

í مرکز کره :نقطه ی O

í شعاع کره :R (فاصله ی نقاط روی سطح کره از مرکز کره)     

í دایره ی عظیمه :اگر یک کره را نصف کنیم، دایره ای که از نصف کردن کره بدست می آید،

دایره عظیمه نام دارد .

 رابطه های مهم :

سلام دوستان

امروز جزوه انالیز حقیقی و مختلط  رویدن که توسط دکتر املی  به زبان فارسی تهیه شده است را برای شما اماده کرده ایم.

مباحث:

فصل 1 انتگرال گیری مجرد (84 اسلاید)
فصل 2 اندازه های بورل مثبت (119 اسلاید)
فصل 3 فضاهای  L^p 
فصل 4 نظریه مقدماتی فضای هیلبرت (79 اسلاید)
فصل 5 چند نمونه از فضای باناخ (91 اسلاید)

مجموع : 408 اسلاید

برای دانلود اینجا کلیک کنید.

پسورد : mathbook.mihanblog.com

امرور جزوه انالیز ریاضی 2 که مولف ان دكتر علیرضا مدقالچی   و توسط علی مظهری به زبان فارسی تهیه شده است را برای شما قرار داده ایم.

مباحث:

فصل 1 : انتگرال های ریمان‌ ــ استیلتیس
فصل 2 :انتگرال های ناسره
فصل 3 :توابع با تغییر كراندار
فصل 4 :دنباله ها وسریهای توابع
فصل 5 : سری های توانی و توابع خاص

مجموع:282 اسلاید



برای دانلود اینجا کلیک کنید.

پسورد : mathbook.mihanblog.com

جزوه پاورپینت انالیز ریاضی 2 که مولف کتاب ان دکتر علیرضا مدقالچی می باشد و توسط حمید شجاعی تهیه شده است.

انالیز ریاضی 2 جزء واحد های تخصصی رشته ریاضی می باشد .

سرفصل های این جزوه اموزشی عبارتند از:

1. انتگرالهای ریمان-استیلتیس
2. انتگرالهای ناسره
3. توابع با تغییر محدود
4. دنباله ها و سریهای توابع
5. سریهای توانی و توابع خاص....

تست 1(سال 74):1-کدام یک از گزینه های زیر، صحیح نیست؟

1. هر زیر مجموعه ی محدب  همبند است.

2. هر زیر مجموعه ی همبند   که تک عضوی نیست، شمارش ناپذیر است.

3. هر زیر مجموعه ی همبند   یک بازه(=فاصله) است.

4. هر زیر مجموعه ی باز همبند   مجموعه ای محدب است.

حل تست:

گزینه ی 4.

فضای بین دو قرص متمایز بدون مرز هم مرکز در صفحه را در نظر بگیرید. این مجموعه در  باز و همبند است، اما محدب نیست.

 موفق باشید.

تست 2 (سال 74):

اگر  آنگاه A:

1) باز است.         2) فشرده است.         3) نه باز و نه بسته است.         4) شماراست.

حل تست:

گزینه ی 2.

توجه کنید که .

موفق باشید.

تست 3 (سال 75):

اگر  یک فضای متری و A و B زیر مجموعه های X باشند، کدام گزینه صحیح است؟ ( درون و  بستار A است.)

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 4.

برای رد سه گزینه ی اول، فضای متری X را فضای متری اقلیدسی  در نظر بگیرید و فرض کنید:

گزینه ی 4 را نیز می توانید به عنوان یک قضیه ثابت کنید.

موفق باشید.

تست 6 (سال 75)

اگر ، کدام یک از مجموعه های زیر در Y مجموعه ای باز است؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 2.

توجه کنید که یک مجموعه در یک فضا باز است، اگر و فقط اگر متمم آن در آن فضا بسته باشد. متمم مجموعه ی  در Y بازه ی  است که در Y بسته است. (البته روش دیگر، توجه به تساوی  و نیز قضیه ای  پرکاربرد در فضاهای متری است. چون  در  باز است پس  در Y باز بسته است.)

موفق باشید.

تست 7 (سال 76)

فرض کنید  و  به ترتیب گردایه ای از مجموعه های باز و بسته باشند، در این صورت:

1)  بسته است.

2)  بسته است.

3)  باز است.

4)  بسته است.

حل تست:

گزینه ی 1.

مجموعه ی  بسته است و می دانیم که اشتراک هر تعداد مجموعه ی بسته، مجموعه ای بسته است.

موفق باشید.

تست 8 (سال 76)

هر زیر مجموعه ی ....... در  ........ است.

1) فشرده - کامل

2) فشرده - همبند

3) کامل - فشرده

4) همبند - کامل

حل تست:

هیچ کدام از گزینه ها درست نیست.

برای رد 1 و 2 یک مجموعه ی متناهی در  را در نظر بگیرید. برای رد 3 مجموعه ی  را در نظر بگیرید و برای رد 4 مجموعه ی .

موفق باشید.

تست 9 (سال 76)

در هر فضای متریک، اگر مجموعه ی همبندی تک عضوی نباشد......

1) آن مجموعه شامل یک گوی باز است.

2) آن مجموعه شامل یک گوی بسته است.

3) تعداد عناصر آن ناشماراست.

4) تعداد عناصر آن شماراست.

حل تست:

گزینه ی 3.

رجوع کنید به آنالیز رودین فصل اول تمرین 19 ت.

موفق باشید.

تست 11 (سال 77)

مجموعه ی نقاط مرزی یک مجموعه ی E از یک فضای متریک، مجموعه ای است ...

1) باز

2) بسته

3) هم باز و هم بسته

4) نه باز و نه بسته

حل تست:

گزینه ی 2.

مرز زیر فضای E از X، مجموعه ی نقاطی از فضای X است که هر همسایگی از هر نقطه ی آن، اشتراکی ناتهی با E و متمم E داشته باشد. با کمی دقت می توان ثابت کرد که متمم مرز، باز و در نتیجه مرز، مجموعه ای بسته است. (البته راه دیگر، اثبات این مطلب است که مرز E، شامل نقاط حدی خود است.)

تست 16 (سال 79)

اگر  با متر معمولی در نظر گرفته شود، مجموعه ی  مجموعه ای است ..........

1) فشرده و همبند

2) نه فشرده و نه همبند

3) فشرده و ناهمبند

4) همبند است ولی فشرده نیست.

حل تست:

گزینه ی 2.

شکل A داخل هذلولی همراه با مرزهای آن است، بنابر این بی کران است و در نتیجه فشرده نیست؛ هم چنین به وضوح همبند نیست.

در فضای متریک  که ، مجموعه ی  (یعنی گوی باز به مرکز 2 و شعاع یک پنجم) برابر است با:

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 4.

کافی است تعریف گوی باز را بنویسید.

تست 18 (سال 80)

اگر ، آنگاه  کدام است؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 1.

A یک زیر فضای گسسته ی یک فضای متری اقلیدسی ناشماراست و لذا A شامل هیچ همسایگی از نقاط خود نیست.

تست 19 (سال 80)

قرار دهید  به عنوان زیر مجموعه ای از زوجهای مرتب در .

1)  نقطه ی درونی A است.

2) مجموعه ی A باز است.

3) مجموعه ی A بسته است.

4)  نقطه ی حدی این مجموعه است.

حل تست:

گزینه ی 4.

اگر یک بار m را ثابت نگاه دارید و n را به بی نهایت میل دهید و سپس m را به بی نهایت میل دهید، مشخص است که مبدأ نقطه ی حدی A است که عضو آن نیست. پس 3 درست نیست. از طرفی A شماراست و لذا 1 و 2 درست نیست.

ست 20 (سال 80)

کدام گزینه نادرست است؟

1) اجتماع هر دو مجموعه همبند با اشتراک ناتهی مجموعه ای است همبند.

2) اشتراک هر دو مجموعه ی همبند  برای ، مجموعه ای است همبند.

3) تنها زیر مجموعه ی (ناتهی) همبند فضای اعداد گویا، تک عنصری است.

4) تنها زیر مجموعه های (ناتهی) همبند فضای متریک گسسته، تک عنصری هستند.

حل تست:

گزینه ی 1.

دو قرص بسته ی مماس بر هم را در نظر بگیرید. هریک از آنها همبند ولی اجتماع آن ها همبند نیست.

نکته: برای گزینه ی 4 به اینجا مراجعه کنید. (یك فضای گسسته همبند نیست مگر اینكه تك عضوی باشد. زیرا در غیر این صورت مجموعه همه ی تك عضویها تشكیل یك جداسازی برای این فضا می دهد(چون در فضای گسسته هر مجموعه ی تك عضوی هم باز است وهم بسته) و می دانیم كه هر فضایی كه دارای یك جداسازی باشد همبند نیست. پس هر فضای گسسته با بیش از یك عضو همبند نیست.)

تست 21 (سال 80)

در فضای متریک ، کدام عبارت، مرز مجموعه ی A نیست؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 3.

با توجه به تعریف، مرز  عبارت است از ؛ حال کافی است قرار دهید  و .

تست 22 (سال 81)

فرض کنید  و ؛ آنگاه

1)  فشرده در Y است.

2)  باز و بسته در Y است.

3)  کامل در Y است.

4)  چگال در Y است.

حل تست:

گزینه ی 2 و 3 !!

به وضوح هر نقطه ی ، نقطه ی داخلی (نسبت به متر Y) است و  شامل نقاط حدی خود است؛ همچنین  مساوی نقاط حدی خود (البته به عنوان زیر فضای Y) و لذا کامل است.

 در Y فشرده نیست، زیرا در  فشرده نیست.  چگال در Y نیست، زیرا با بستار خود مساوی است.

تست 23 (سال 81)

کدام یک از نقاط، انباشتگی (تجمع یا حدی) مجموعه ی  است؟

1) 

2) 1

3) 

4) 2

حل تست:

گزینه ی 2.

قرار دهید m=1 و n را به بی نهایت میل دهید. (نقاط انباشتگی A مجموعه ی  است.)

کدام یک از توابع d در اعداد حقیقی، متر نیست؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 3.

در گزینه ی 3 داریم:   که مخالف تعریف متر است.

تست 25 (سال 81)

فرض کنید  یک فضای متریک و ؛ کدام گزینه همواره درست است؟

1) اگر A همبند نامتناهی باشد، آنگاه  کامل (Perfect) است.

2) اگر A کامل و کراندار باشد، آنگاه A فشرده است.

3) اگر A کامل باشد، آنگاه A ناشماراست.

3) اگر A کامل باشد، آنگاه همبند است.

حل تست:

گزینه ی 1.

برای اثبات گزینه ی 1، ثابت کنید که اگر  کامل نباشد، عضوی از A مانند a که نقطه ی تنهای آن است وجود دارد به گونه ای که مجموعه ی  در A هم باز است و هم بسته که متناقض همبندی A است. برای رد سه گزینه ی دیگر، X را اعداد گویا و A را مجموعه ی همه ی اعداد گویا در بازه ی  فرض کنید.

اگه مطالبی شبیه این میخوای رو لینکهای روبرو کلیک کن!!! : آموزشی انالیز ریاضی توپولوژی ++کنکور++

تست 26 (سال 82)

اگر ، کدام یک از گزینه های زیر صحیح است؟

1) نقاط انباشتگی A برابر است با  و نقاط مرزی A برابر است با 

2) نقاط انباشتگی A برابر است با  و نقاط مرزی A برابر است با 

3) نقاط انباشتگی A برابر است با  و نقاط مرزی A برابر است با 

4) نقاط انباشتگی A برابر است با  و نقاط مرزی A برابر است با 

حل تست:

گزینه ی 4.

بنابر تعریف نقاط انباشتگی و نقاط مرزی.

تست 27 (سال 82)

کدام مجموعه کراندار نیست؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 2.

کافی است به جای x در گزینه ی 2 عبارت  قرار داده، k را به سمت بی نهایت میل دهید. می توانید ببینید که قدرمطلق عبارات گزینه های دیگر، همگی از 1 کمتر یا مساوی هستند. 

تست 28 (سال 82)

کدام یک از احکام زیر، درست است؟

1) هر فضای متری همبند، شمارش ناپذیر یا تک عضوی است.

2) هر فضای متری همبند، دارای زیرمجموعه ای شمارش پذیر و چگال است.

3) هر فضای متری فشرده، شمارش پذیر است.

4) هر فضای متری همبند، کامل است.

حل تست:

گزینه ی 1.

برای اثبات به کتاب اصول آنالیز رودین ص 57 تمرین 19 ت مراجعه فرمایید.

گزینه ی 2 یه این معناست که هر فضای متری همبند، جدایی پذیر است که درست نیست. (فضای دنباله های حقیقی کران دار با نرم سوپریمم). گزینه های 3 و 4 نیز با زیرفضاهای  و  رد می شوند.

تست 29 (سال 82)

فرض کنیم  یک فضای متری باشد، برای  درون A را با  نشان می دهیم. هرگاه ، کدام گزینه صحیح است؟ (A و B زیرمجموعه های X هستند.)

1) تنها وقتی  که A بسته و B باز باشد یا بالعکس.

2) تنها وقتی  که A یا B بسته باشد.

3) هر گاه A در X بسته باشد، آنگاه .

4) همواره .  

حل تست:

گزینه ی 3.

در حالت کلی تر ثابت کنید که اگر A بسته باشد و ، آنگاه 

تست 30 (سال 82)

فرض کنیم X یک فضای متری،  و  مجموعه ی نقاط حدی (انباشتگی) E باشد. کدام گزاره همواره برقرار است؟

1)  بسته و کران دار است.

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 4.

 مجموعه ای بسته است.

تست 31 (سال 82)

فرض کنیم  زیر مجموعه ای ناتهی و سره باشد به طوری که  همبند است، در این صورت:

1) A فشرده است.

2) A بی کران است.

3) A درون تهی است.

4) A حداکثر شماراست.

حل تست:

گزینه ی 2.

 باید تک نقطه ای یا یک بازه باشد (بازه ی متناهی یا نامتناهی)، بنابر این A به صورت   است که B یک مجموعه ی تک عنصری یا یک بازه است، پس A در هر صورت بی کران است.

بقیه ی گزینه ها با مثال نقض  رد می شود.

تست 32 (سال 82)

کدام گزینه صحیح است؟

1) هر مجموعه ی نامتناهی از اعداد حقیقی، باز است.

2)  مجموعه ای باز است.

3) مجموعه ی ناتهی بازی مانند A از اعداد حقیقی وجود دارد که نمی توان آن را به صورت اجتماعی از فواصل باز نوشت.

4) برای هر دو زیر مجموعه ی A و B از  داریم: 

حل تست:

گزینه ی 2.

به وضوح هر نقطه ی مجموعه ی  نقطه ای درونی (داخلی) است و در نتیجه این مجموعه باز است.

برای رد گزینه ی 1 مجموعه ی اعداد صحیح را در نظر بگیرید. گزینه ی 3 نیز صحیح نیست، زیرا بنابر قضیه ی معروفی در آنالیز، هر زیر مجموعه ی باز  اجتماع شمارایی از همسایگی ها است (تمرین 22 و 23 فصل 2 اصول آنالیز ریاضی رودین). برای رد گزینه ی 4، A را مجموعه ی اعداد گویا و B را مجموعه ی اعداد اصم (گنگ) در نظر بگیرید.

تست 33 (سال 82)

فرض کنید X یک فضای متریک است. اگر بستار زیرمجموعه ای چون A را با نماد  نمایش دهیم، آنگاه برای خانواده ی دلخواه  از زیر مجموعه های X، کدام گزاره همواره درست است؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 1.

دقت کنید که عبارت سمت راست گزینه ی 1، مجموعه ای بسته است و   و ، از طرف دیگر  کوچک ترین زیرمجموعه ی بسته ی X شامل A است؛ از این دو مطلب، درستی گزینه ی 1 ثابت می شود.

برای رد گزینه های 2 و 4 قرار دهید:  و برای رد گزینه ی 3 قرار دهید: .

تست 34 (سال 83)

اگر A و S-A یک جداسازی فضای ناهمبند S باشد، آنگاه کدام گزینه درست نیست؟

1) 

2) 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 3.

با توجه به تعریف جداسازی، A و S-A بسته اند، بنابر این .

تست 35 (سال 83)

اگر  یک فضای متری و ، آنگاه کدام گزینه همواره صحیح نیست؟ ( درون A است.)

1) 

2) برای هر عدد طبیعی n، 

3) 

4) 

حل تست:

گزینه ی 1.

?

اگه مطالبی شبیه این میخوای رو لینکهای روبرو کلیک کن!!! : آموزشی انالیز ریاضی توپولوژی مطالب ریاضی عجایب ریاضی

1- بازه ی بسته ی  [0,1] را در نظر بگیرید.حال یک سوم میانی آن یعنی (1/2,2/3) را حذف کنید. پس الان دو بازه ی بسته داریم [0,1/3] و [2/3,1]. حال یک سوم میانی این دو بازه را هم حذف کنید. حاصل چهار بازه ی بسته ی [0,1/9] ، [2/9,1/3] ، [2/3,7/9] و
[8/9,1] است. اگر روند حذف یک سوم های میانی را تا بینهایت ادامه دهیم به مجموعه ای می رسیم که مجموعه ی کانتور نامیده می شود و در سال 1883 توسط ریاضی دان آلمانی، جرج کانتور معرفی شد. این مجموعه دارای خواص عجیبیست که در ادامه به این خواص خواهیم پرداخت.

2- طول بازه هایی که حذف کرده ایم چقدر است؟ اول بازه ای بطول 1/3 را برداشتیم، بعد دو بازه بطول 1/9 ، سپس چهار بازه بطول 1/27 و به همین ترتیب در مرحله ی n ام
2^(n-1) بازه بطول 1/(3^n) را حذف کرده ایم. مجموع طول تمام بازه های حذف شده، یک سری هندسی با جمله ی اول 1/3 و قدرنسبت 2/3 می سازد پس طول بازه های حذف شده برابر است با جمله ی اول سری، تقسیم بر "یک منهای قدرنسبت" یعنی یک!!! یعنی ما از بازه ی[0,1] به اندازه کل طول آن، بازه حذف کرده ایم، اما هنوز نقاطی باقی مانده اند!!! نقاطی مثل صفر، یک، یک سوم، دو سوم و بطور کلی ابتدا و انتهای بازه های حذف شده،هیچ گاه حذف نمی شوند.

3- خاصیت عجیب تر آنکه، تعداد نقاط مجوعه ی کانتور دقیقا با تعداد نقاط بازه ی [0,1]مساویست!!! برای اثبات این مسئله باید تابعی یک به یک و پوشا بین نقاط مجموعه ی کانتور و بازه ی [0,1] بسازیم.برای این کار در هر مرحله از ساخت مجموعه ی کانتور عددی را به بازه های باقی مانده نسبت می دهیم. در مرحله ی اول به بازه ی [0,1/3] عدد 0.0 و به بازه ی [2/3,1] عدد 0.2 را نسبت می دهیم. در مرحله ی بعد به [0,1/9] عدد 0.00 ، به [2/9,1/3] عدد 0.02، به [2/3,7/9] عدد 0.20 و به [8/9,1] عدد 0.22 را نظیر می کنیم.با ادامه ی این روند مجموعه ی کانتور شامل تمام اعداد به فرم
0.a-1 a-2 … a-n … است که a-n ها یا صفرند یا دو. حال اگر تمام اعداد بازه ی [0,1] را در مبنای دو نمایش دهیم، این بازه شامل تمام اعداد به فرم  0.a-1 a-2 … a-n … است که a-n ها یا صفرند یا یک. حال ساختن تابعی یک به یک و پوشایی که مجموعه ی کانتور و بازه ی [0,1] را به هم نظیر کند کار ساده ایست.

4- عجیبست!!! مجموعه ی کانتور، زیر مجموعه ی [0,1] است اما تعداد نقاطش با [0,1] برابر است!!! مشابه این موضوع را میتوان جاهای دیگر هم مشاهده کرد مثلا تعداد اعداد طبیعیN={1,2,…} با تعداد اعداد صحیح  Z={…,-2,-1, 0,1,2,…} برابر است!!! ظاهرا تعداد اعداد صحیح (بجز صفر) دو برابر تعداد اعداد طبیعی است چرا که به ازای هر عدد n در N اعداد n و –n در Zوجود دارند اما برابر بودن تعداد اعضا به معنای دقیق ریاضی، همان مسئله ی وجود تابع یک به یک و پوشا بین N و Z است. کافیست تابعی بسازیم که 1 را به 0،  2 را به 1،  3 را به -1،  4 را به 2،  5 را به -2 و ... و  2n را به n و 2n+1 را به –n نظیر کند. این تابع یک به یک و پوشاست پس تعداد اعداد صحیح (بجز صفر) برخلاف آنچه به نظر می رسد دو برابر اعداد طبیعی نیست. این خواص عجیب بخاطر اینست که تعداد اعضای این مجموعه ها(N و Z) متناهی نیست. وضعیت برای مجموعه ی کانتور و [0,1] هم مشابه است.

4- طول یک بازه ی دلخواه [a,b] برابر است با b-a . حال ببینیم طول مجموعه ی کانتور چقدر است. درمرحله ی اول ساخت آن، دو بازه ی [0,1/3] و [2/3,1] مجموعا دارای طول 2/3 هستند. در مرحله ی دوم، چهار بازه ی [0,1/9] ، [2/9,1/3] ، [2/3,7/9] و [8/9,1] روی هم رفته دارای طول 4/9 یا (2/3)^2 هستند و بطور کلی در مرحله n ام بازه های باقی مانده دارای طول(2/3)^n می باشند.چون مراحل ساخت مجموعه ی کانتور بینهایت بار است لذا طول مجموعه ی کانتور برابر است با 2/3 به توان بینهایت که چون 2/3 از یک کمتر است لذا به توان بینهایت برابر خواهد شد با صفر. پس طول مجموعه ی کانتور صفر است هر چند تعداد نقاطش با بازه ی[0,1] بطول یک، برابر می باشد!!!

5- مجموعه ی کانتور یک فراکتال است چرا که خاصیت اصلی فراکتال ها یعنی خود متشابهی را داراست پس طبیعتا همه ی خواص پیچیده و عجیب فراکتال ها را هم میتواند داشته باشد!!! (برای اطلاعات بیشتر در مورد فراکتال ها به اینجا مراجعه کنید)

6- اما سایر خواص این مجموعه ی عجیب که کمی تخصصی تر هستند و درکشان نیاز به پیش زمینه ی ریاضی بیشتری دارند.  متمم مجموعه ی کانتور، متشکلست از بینهایت مجموعه ی باز(همان مجموعه هایی که از [0,1] حذف کردیم) لذا متمم مجموعه ی کانتور مجموعه ایست باز، پس خود مجموعه ی کانتور بسته است. چون این مجموعه ی بسته، کراندار هم هست لذا در R فشرده است (طبق قضیه ی معروف هاینه بورل در آنالیز ریاضی) اما عجیبست که با وجود فشرده بودن هیچ جا چگال نیست اما در عین حال کامل (perfect) است!!! در واقع در بازه ای به شعاع اپسیلون (هر اپسیلون دلخواه) و مرکز x (عضوی از مجموعه ی کانتور) نقطه ای از مجموعه ی کانتور بجز x و همچنین نقطه ای خارج از مجموعه ی کانتور موجود است پس هر نقطه ی مجموعه ی کانتور تجمعی است اما هیچ نقطه ی آن درونی نیست. چون مجموعه ی کانتور بسته است و هر نقطه ی آن تجمعیست لذا کامل (perfect) است اما چون هیچ نقطه ی درونی ندارد، هیچ جا چگال نیست!!!

7- مجموعه کانتور نمونه ای از مجموعه های به ظاهر ساده اما پیچیده در دنیای ریاضیات است و نشان می دهد که درک شهودی چقدر میتواند در بررسی مسائل ناتوان باشد. آری در دنیای ریاضیات به چشمهایت هم نباید اطمینان کنی!!!

مؤلف این کتاب Paul Loya از دانشگاه بینگهمتون آمریکا می باشد و می توان گفت که یکی از بهترین و پرمحتواترین کتاب های آنالیز ریاضی مقدماتی به خصوص در مبحث سریها و حاصلضرب های نامتناهی و همچنین آشنایی مقدماتی با تابع زتای ریمان می باشد.


.... دانلود

معمای جالب ریاضی همراه با جواب

75 نفر در یک جنگ ۱۰۰ سرباز شرکت کردند و جراحاتی برداشتند. آمار جراحات به شرح زیراست:

۷۰  نفر دست راستشان را از دست دادند

  ۷۵نفر دست چپشان را از دست دادند

۸۰ نفر پای راست

۸۵ نفر پای چپ از دست دادند.

حد اقل تعداد افرادی که هر ۴ عضوشان را از دست دادن چندتاست؟

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

جواب : ۱۰  نفر

مجموع عضو های از بین رفته ۳۱۰ عضو که در بهترین حالت ۹۰ نفر سه عضوی و ۱۰ نفر ۴ عضوی می شود

اگر x تعداد ۴ عضوی و y تعداد ۳ عضوی در نظر بگیریم :

۴x + 3y=310

x+y=100

با حل دستگاه داریم :

y=90

x=10

پرسش 1

كدام عدد 4 رقمی است كه رقم یكان هزار آن دو برابر رقم یكانش و دو تا بیشتر از رقم صدگانش باشد؟ رقم دهگان این عدد یكی بیشتر از رقم یكان هزار و 5 واحد بیشتر از رقم یكانش است.

پرسش 2

چگونه می‌توانید این 6 قطعه را در كنار هم قرار دهید تا تصویر نهایی شبیه به شكل وسط باشد. این قطعات دو رو هستند و تصویر طرف مقابل آنها معكوس سطح رویی است.

پرسش 3

در این شكل چند Eمشابه آنچه در گوشه سمت راست بالای تصویر می‌بینید در ابعاد و جهت‌های مختلف پیدا می‌كنید؟

پاسخ 1

این عدد چهار رقمی عدد 8694 است كه رقم یكان هزار آن دو برابر رقم یكانش و دو تا بیشتر از رقم صدگانش است و رقم دهگان این عدد نیز یكی بیشتر از رقم یكان هزار و 5 واحد بیشتر از رقم یكانش است.

پاسخ 2

اگر قطعات را مانند آنچه در شكل می‌بینید در كنار هم قرار دهید می‌توانید از این قطعات شكل اصلی را بسازید.

پاسخ 3

همان‌طور كه در تصویر مشاهده می‌كنید مجموع E‌هایی كه در تصویر می‌بینید برابر است با44

مردی زنی را بوسید ، از او پرسیدند چه نسبتی با او داری؟

مرد گفت: مادر شوهر این زن با مادر زن من ، مادر و دخترند.

مرد چه نسبتی با زن دارد؟...

*

*

*

*

*

*

*

*

*

جواب معما:

 سعی کنید خودتان جواب معما را پیدا کنید.

*

*

*

*

*

*

*

جواب معمای نسبت مرد با زن

اسم مرد رو می گذاریم علی ، اسم زن رو می گذاریم مریم ...

علی یه خاله داره که دو تا دختر داره ، خودش هم یک خواهرزاده داره به اسم مریم ...

لطفا کمی فکر کنید و با استفاده از راهنمائی های بالا جواب را حدس بزنید ، اگر موفق نشدید ، جواب را در زیر ببنید

*

*

*

*

*

*

*

*

علی با یکی از دختر خاله ها ازدواج کرده و مریم هم زن پسر اون یکی دختر خاله علی شده ...

در این حالت ، مادر شوهر مریم ، میشه دختر مادر زن علی ...

پس این مرد ، خواهرزاده خود را بوسیده است.

سه نفر برای خرید ساعتی به یک ساعت فروشی مراجعه میکنند.قیمت ساعت ۳۰ هزار تومان بوده و هر کدام نفری ۱۰ هزار تومن پرداخت میکنند. تا آن ساعت را خریداری کنند...

بعد از رفتن آنها ، صاحب مغازه به شاگردش میگوید قیمت ساعت ۲۵ هزار تومان بوده.

این ۵ هزار تومان را بگیر و به آنها برگردان
شاگرد ۲ هزار تومان را برای خود بر میدارد
و ۳ هزار تومان باقیمانده را به آنها برمیگرداند. (نفری هزار تومان)
حال هر کدام از آنها نفری ۹ هزار تومان پرداخت کرده اند . که ۳*۹ برابر ۲۷ میشود
این مبلغ به علاوه آن ۲ هزار تومان که پیش شاگرد است میشود ۲۹ تومان
هزار تومان باقیمانده کجاست ؟

جواب در لینک زیر

معما تا جایی که شاگرد دوهزار تومان رو برای خود و سه هزار رو به آنها پس میدهد درست است اما مشکل اینجا وجود داره که وقتی نفری ۱۰۰۰ میگیرن در واقع نفری ۹۰۰۰ تومان پرداخته اند که ۹۰۰۰*۳=۲۷۰۰۰ و + ۲۰۰۰ میشه ۲۹۰۰۰ تومان!!!!

اشتباه همین جاست که نباید ۲۷ رو با ۲ جمع کرد و درواقع باید آنها رو از هم کم کرد.(۲۵+۲ تومان پول شاگرد =۲۷)

یعنی سه نفر ۳۰۰۰۰ تومان پول دادند که سه هزار تومان رو شاگرد به آنها برمیگرداند پس آنها ۲۷۰۰۰ تومان دادند که ۲۰۰۰ تومان رو شاگرد برداشته و ۲۵۰۰۰ هزار تومان رو بابت پول ساعت پرداخته اند. به همین سادگی

شخصی درون زندانی حبس شده است. اتاقی که این شخص در آن نگاهداری می شود دو در دارد که یکی به سمت چوبه دار راه دارد ولی دیگری به بیرون زندان راه دارد و منجر به آزادی زندانی می شود. هر یک از این درها یک نگهبان دارد که یکی ازآنها همیشه راست می گوید و دیگری همیشه دروغ و هر دو از اینکه کدام در به کجا راه دارد و نیز از راستگویی یا دروغگویی نگهبان دیگر آگاهند.

زندانی ما حق دارد تنها یک سوال از یکی از نگهبان ها بپرسد و سپس یکی از درها را انتخاب کند. در ضمن نگهبان ها فقط با "بلی" یا "خیر" پاسخ می دهند. او چطور می تواند با تنها یک سوال دری که به سوی آزادی باز می شود را پیدا کند؟!

قبل از اینکه پاسخ را در ادامه مطلب ببینید کمی فکر کنید!

پاسخ:

فکرهاتون را کردید؟

ساده است (همیشه معما بعد از حل ساده است!). زندانی به سراغ یکی از نگهبان ها می رود و می پرسد:

"اگر من از نگهبان دیگر بپرسم که این در به سمت آزاد شدن باز می شود یا نه، او چه خواهد گفت؟"

اگر در مذکور، در ِ آزادی باشد، دو حالت پیش می آید:

1- یا نگهبان راستگو بوده، که او با توجه به دروغگو بودن نگهبان دیگر (که پاسخ خواهد داد : خیر) جواب می دهد: "خیر"

2- اگر نگهبان دروغگو باشد، جواب نگهبان دیگر ( بلی ) را برعکس خواهد کرد و او هم خواهد گفت " خیر"!

پس جواب "خیر" به معنای اینست که این در، به سمت بیرون زندان راه دارد! به همین ترتیب جواب "بلی" یعنی این در به چوبه دار ختم می شود.

ساده بود ، نه؟!

پرسش 1

آیا می‌توانید در امتداد خطوط افقی و عمودی این شكل را به 7 قسمت تقسیم كنید؟

پرسش 2

6 توپ كوچك دارید كه یكی از آنها از ها وزن بیشتری دارد. چگونه می‌توانید تنها با دو بار وزن كردن توپی را كه سنگین‌تر است شناسایی كنید.

*

*

*

*

*

*

*

*

*

پاسخ 1

بر این اساس می‌توانید شكل را در امتداد خطوط به 7 قسمت تقسیم كنید.

پاسخ 2

توپ‌ها را به دو قسمت تقسیم كنید. روی هر یك از دو كفه ترازو3 تا از توپ‌ها را قرار دهید. به این ترتیب گروهی كه توپ سنگین تر در آن قرار دارد شناسایی می‌شود. سپس از این گروه 2 تا از توپ‌ها را برداشته و روی دو كفه ترازو قرار دهید به این ترتیب توپی كه وزن بیشتری دارد مشخص می‌شود.

پرسش 1

در هر یك از قسمت‌های رنگی‌شكل، عددی از یك تا 6 قرار دهید به گونه‌ای كه اعدادی كه در قسمت‌های همرنگ و همچنین اعدادی كه در یك دایره قرار می‌گیرد، تكراری نباشد.

پرسش 2

اگر بخواهید تنها با استفاده از دو ظرفی كه در شكل می‌بینید، پنج لیتر آب را در ظرفی بریزید كدامیك از ظرف‌ها را انتخاب می‌كنید و به چه ترتیبی این كار را انجام می‌دهید؟

ظرف سمت چپ : 3 لیتری . ظرف وسط : 4 لیتری . ظرف راستی : 6 لیتری 

*

*

*

*

پاسخ 1

اگر اعداد را مانند آنچه در شكل می‌بینید در قسمت‌های رنگی بگذارید در قسمت‌هایی كه همرنگ است اعدادی از 1 تا 6 قرار گرفته و اعدادی كه در یك دایره قرار دارند نیز تكراری نخواهد بود.

پاسخ 2

اگر به ترتیب آنچه در شكل می‌بینید عمل كنید می‌توانید تنها با استفاده از 2 تا از ظرف‌ها 5 لیتر آب را در ظرفی بریزید.

 جواب  سما :

پرسش 1

با استفاده از كدام‌یك از این شكل ها می‌توانید خانه ای شبیه به آنچه در وسط می‌بینید را بسازید؟ (فقط از محل خط چین‌ها می‌توانید آنها را تا بزنید)

پرسش 2

اگر دو تاس را همزمان با هم پرتاب كنید احتمال این‌كه مجموع اعداد ظاهر شده عددی فرد باشد چقدر است؟

پرسش 3

با استفاده از 3 خط مستقیم كه از محیط دایره ترسیم می شود این تصویر را به چند قسمت مجزا تقسیم كنید به گونه ای كه مجموع اعدادی كه در هر قسمت قرار می گیرد با هم برابر باشد.

*

*

*

*

*

*

پاسخ 1

با استفاده ازشكل ‍C و تنها با تا زدن كاغذ از محل خط چین های مشخص شده در تصویر، می‌توان خانه ای شبیه به آنچه در وسط تصویر دیده می شود را ساخت.

پاسخ 2

اگر دو تاس را همزمان با هم پرتاب كنید احتمال این كه مجموع اعداد ظاهر شده فرد باشد1/2 است. چراكه یا مجموع این اعداد فرد است یا زوج.

پاسخ 3

با استفاده از 3 خط مستقیم این تصویر به چند قسمت مجزا تقسیم شده است به گونه ای كه مجموع اعدادی كه در هر قسمت قرار می‌ گیرد با هم برابر است.

پرسش 1

مدت زمانی كه دو ساعت دیگر تا نیمه شب باقی است نصف مدت زمانی است كه یك ساعت دیگر تا نیمه شب زمان داریم. هم اكنون ساعت چند است؟

پرسش 2

كدام یك از این شكل ها با سه شكل دیگر متفاوت است؟

پاسخ 1

اگر الان ساعت 9 شب باشد. دو ساعت دیگر یعنی ساعت 11 شب یك ساعت دیگر تا نیمه شب زمان داریم كه نصف مدت زمانی است كه از ساخت 10 تا نیمه شب باقی است.

پاسخ 2